Class 7 Math Solution 2023 - অজানা রাশির উৎপাদক,গসাগু ও লসাগু - ৯ম অধ্যায় ( সম্পূর্ণ)

 

অজানা রাশির উৎপাদক

অজানা রাশির উৎপাদক, গসাগু ও লসাগু অংশে প্রথমে আমরা অজানা রাশির উৎপাদক অংশ নিয়ে সমস্যার সমাধান করব। এই অংশে আমরা বীজগণিতীয় রাশির উৎপাদক ((Factorization of Algebraic Expression) নির্ণয়ের দুইটি পদ্ধতি ১. ছবির মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় ও ২. কাগজকাটা মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় বিষয়ক সমস্যার সমাধান করব।

ছবির মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ

1. 20x+4y

2. 28a+7b

3. 15y-9y²

4. 5a²b² -9a⁴b²

সমাধানঃ

1. 20x+4y

20x+4y কে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরে উহার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।

এখানে, 20 এর এর উৎপাদক 1, 2, 4, 5, 10, 20

4 এর এর উৎপাদক 1, 2, 4

তাহলে, 20 ও 4 সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো 4

চিত্র থেকে পাই, প্রস্থ = 4 হলে দৈর্ঘ্য = (5x+y)

অর্থাৎ 20x+4y এর উৎপাদক দুটি হলো যথাক্রমে 4 এবং (5x+y)

2. 28a+7b

28a+7b কে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরে উহার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।

এখানে, 28 এর এর উৎপাদক 1, 2, 4, 7, 14, 28

7 এর এর উৎপাদক 1, 7

তাহলে, 28 ও 7 সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো 7

চিত্র থেকে পাই, প্রস্থ = 7 হলে দৈর্ঘ্য = (4a+b)

অর্থাৎ 28a+7b এর উৎপাদক দুটি হলো যথাক্রমে 7 এবং (4a+b)

3. 15y-9y²

15y-9y² কে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরে উহার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।

এখানে, 15 এর এর উৎপাদক 1, 3, 5, 15

9 এর এর উৎপাদক 1, 3, 9

তাহলে, 15 ও 9 সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো 3 এবং y ও y² এর সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো y.

চিত্র থেকে পাই, প্রস্থ = 3y হলে দৈর্ঘ্য = (5-3y)

অর্থাৎ 15y-9y² এর উৎপাদক দুটি হলো যথাক্রমে 3y এবং (5-3y)

4. 5a²b² -9a⁴b²

5a²b² -9a⁴b² কে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরে উহার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।

এখানে, 5 এর এর উৎপাদক 1, 5

9 এর এর উৎপাদক 1, 3, 9

তাহলে, 5 ও 9 সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো 1 এবং a²b² ও a⁴b² এর সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো a²b².

চিত্র থেকে পাই, প্রস্থ = a²b² হলে দৈর্ঘ্য = (5-9a²)

অর্থাৎ 5a²b² -9a⁴b² এর উৎপাদক দুটি হলো যথাক্রমে a²b² এবং (5-9a²)

কাগজ কাটার মাধ্যমে উৎপাদক এ বিশ্লেষণ

একক কাজ: উপরে বর্ণিত একটিভিটির মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

1. x²+3x+2

সমাধানঃ

প্রথমে ক্ষেত্রফল x², x ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৩ ও ২টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x+ 2) ও (x+1)

অতএব, x²+3x+2 এর উৎপাদক হলোঃ (x+2)(x+1)

[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]

2. x²-x-2

সমাধানঃ

প্রথমে, ক্ষেত্রফল x², -x, x ও -1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ২, ১ ও ২টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-2) ও (x+1)

অতএব, x²-x-2 এর উৎপাদক হলোঃ (x-2)(x+1)

[[ব্যাখ্যাঃ

x²-x-2 এর মিডিল টার্ম করলে পাই x²-2x+x-2

এবং এই মিডিল টার্ম গঠন থেকে আমরা বুঝে যাই কি কি ব্লক বা মডেল গঠন করতে হবে। এখানে এগুলো হলোঃ x², -x, x ও -1 এর জন্য ১টি, ২টি, ১টি ও ২টি।

এখন আকৃতি গুলো সাজিয়ে আয়তক্ষেত্র গঠন করার পর নতুন ক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বের করতে হবে।

এখন,

চিত্রে খেয়াল করি,

গঠিত ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (একটি x² এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য x) + (১টি –x এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য -1) + (১টি –x এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য -1) = x + (-1) + (-1) = x -1 – 1 = x -2

গঠিত ক্ষেত্রের প্রস্থ = (একটি x² এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য x) + (১টি x এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য 1) = x+ 1

উল্লেখ্যঃ x এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 কিভাবে?

এটা বুঝতে আমরা প্রথমে ক্ষেত্র x² চিন্তা করি, যেখানে এর দুইটি বাহু x ও x অর্থাৎ, x.x = x²

সেইরুপঃ ক্ষেত্রফল x হলে দুটি বাহু x ও 1,  ক্ষেত্রফল -x হলে দুটি বাহু x ও -1 ]]

3. x²-3x+2

সমাধানঃ

প্রথমে, ক্ষেত্রফল x², -x, ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৩ ও ২টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-2) ও (x-1)

অতএব, x²-3x+2 এর উৎপাদক হলোঃ (x-2)(x-1)

[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]

4. x²-4x+4

সমাধানঃ

প্রথমে, ক্ষেত্রফল x², -x, ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৪ ও ৪টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-2) ও (x-2)

অতএব, x²-4x+4 এর উৎপাদক হলোঃ (x-2)(x-2)

[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]

5. x²-2x+1

সমাধানঃ

প্রথমে, ক্ষেত্রফল x², -x, ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ২ ও ১টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-1) ও (x-1)

অতএব, x²-2x+1 এর উৎপাদক হলোঃ (x-1)(x-1)

[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]

6. x²+2x+1

সমাধানঃ

প্রথমে, ক্ষেত্রফল x², x, ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ২ ও ১টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x+1) ও (x+1)

অতএব, x²+2x+1 এর উৎপাদক হলোঃ (x+1)(x+1)

[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]

7. x²+5x+6

সমাধানঃ

প্রথমে, ক্ষেত্রফল x², x, ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৫ ও ৬টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x+3) ও (x+2)

অতএব, x²+5x+6 এর উৎপাদক হলোঃ (x+3)(x+2)

[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]

8. x²+x-6

সমাধানঃ

প্রথমে, ক্ষেত্রফল x², x, -x ও -1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৩, ২ ও ৬টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x+3) ও (x-2)

অতএব, x²+x-6 এর উৎপাদক হলোঃ (x+3)(x-2)

[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]

9. x²-5x+6

সমাধানঃ

প্রথমে, ক্ষেত্রফল x², -x ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৫, ও ৬টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-3) ও (x-2)

অতএব, x²-5x+6 এর উৎপাদক হলোঃ (x-3)(x-2)

[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]

10. x²-6x+9

সমাধানঃ

প্রথমে, ক্ষেত্রফল x², -x ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৬, ও ৯টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-3) ও (x-3)

অতএব, x²-6x+9 এর উৎপাদক হলোঃ (x-3)(x-3)

[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]

11. একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 14xy এবং ক্ষেত্রফল 42xy³ হলে, উহার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 14xy এবং ক্ষেত্রফল 42xy³

আমরা জানি,

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য*প্রস্থ

তাহলে, দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল ÷ প্রস্থ

বা, দৈর্ঘ্য = 42xy³ ÷ 14xy

বা, দৈর্ঘ্য = 3y² (Ans)

12. যদি চিত্রে প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যকে 2 একক বৃদ্ধি করা হয় এবং প্রস্থকে 1 একক হ্রাস করা হয় তাহলে উহার পরিসীমা ও ক্ষেত্রফলে কী পরিবর্তন ঘটবে নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

চিত্রে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = l এবং প্রস্থ = w

তাহলে,

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(w+l) = 2w+2l …..(1)

এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = wl ….. (2)

আবার,

যখন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যকে 2 একক বৃদ্ধি করা হয় এবং প্রস্থকে 1 একক হ্রাস করা হয়

তখন, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = l+2 এবং প্রস্থ = w-1

সেক্ষেত্রে,

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা

= 2{(l+2)+(w-1)}

=2(l+2+w-1)

=2(l+w+1)

= 2l+2w+2 …… (3)

এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= (l+2)(w-1)

= wl+2w-l-2 ……(4)

এখন, সমীকরণ (1) ও (3) এর তুলনা করে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার পরিবর্তন পাই,

 (2l+2w+2) – (2w+2l) = 2

এবং, সমীকরণ (2) ও (4) এর তুলনা করে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন পাই,

(wl+2w-l-2) – wl = 2w-l-2

13. যদি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (x+4) মিটার এবং ইহার ক্ষেত্রফল x² +7x+12 বর্গমিটার হয়, সে ক্ষেত্রে প্রস্থ কত হবে?

সমাধানঃ

সাধারন পদ্ধতিঃ

x+4) x² +7x+12 (x+3

        x²+4x

  ----------------

             3x+12

             3x+12

     -----------------

                   0

অতএব, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x+3

কাগজকাটা পদ্ধতিঃ

কাগজকাটা পদ্ধতিতে x² +7x+12 এর উৎপাদক নির্ণয় করি।

প্রথমে, ক্ষেত্রফল x², x ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৭, ও ১২টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ

গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x+4) ও (x+3)

অতএব, x²-6x+9 এর উৎপাদক হলোঃ (x+4)(x+3)

এখন, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x+4 বিধায় এর প্রস্থ হলোঃ x+3

 

বীজগণিতীয় রাশিমালার গসাগু ও লসাগু (HCF & LCM)

আমরা পাটিগণিতের লসাগু ও গসাগু সম্পর্কে পূর্ব থেকেই পরিচিত। ইতিমধ্যেই আমরা বীজগণিতীয় রাশির বর্গ, ঘন , উৎপাদকে বিশ্লেষণ, গুণ এবং ভাগ নির্ণয় শিখেছি। এ অধ্যায়ে আমরা বীজগণিতীয় রাশিমালার লসাগু ও গসাগু নির্ণয় করা শিখব।

বীজগণিতীয় রাশিমালার সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক (Common Factor):-

দুই বা ততোধিক বীজগাণিতিক রাশি অপর কোনো রাশি দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য হলে শেষোক্ত রাশিটিকে ওই দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশির সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক বলে।

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গসাগু (Highest Common Factor or H.C.F):-

দুই বা ততোধিক রাশির মধ্যে যতগুলি সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক থাকে, তাদের গুণফলকে পূর্বোক্ত রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গসাগু. (Highest Common Factor or H.C.F) বলে।

একক কাজঃ

১. যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা গসাগু x গঠিত, আমরা কি সেই সকল রাশিগুলিকে গসাগু x দ্বারা ভাগ করতে পারি?

সমাধানঃ

হ্যাঁ, যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা গ.সা.গু. x গঠিত, আমরা সেই সকল রাশিগুলিকে গসাগু x দ্বারা ভাগ করতে পারি।

উদাহরণঃ

মনে করি, দুইটি বীজগণিতীয় রাশি xy ও zx যাদের গসাগু = x. এখন x দ্বারা xy ও zx কে ভাগ করা যায়।

 

২. যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা লসাগু 15xyzp গঠিত, আমরা কি সেই সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ল.সা.গু 15xyzp কে ভাগ করতে পারি-ব্যাখ্যা করো।

সমাধানঃ

হ্যাঁ, যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা লসাগু 15xyzp গঠিত, আমরা সেই সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা লসাগু 15xyzp কে ভাগ করতে পারি।

ব্যখ্যাঃ

লসাগু মানেই লঘিষ্ট সাধারণ গুণীতক, অর্থাৎ যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ল.সা.গু গঠিত তাদেরও একটা গুণিতক হলো এই লসাগু।

তাহলে, যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ল.সা.গু 15xyzp গঠিত, সেই রাশিগুলোর একটা গুণীতক হলো 15xyzp. তার মানে 15xyzp কে সেই সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ভাগ করা যায়।

উদাহরণঃ

xyz, 5x, 3xp এর লসাগু নির্ণয় করে দেখিঃ

xyz= x.y.z

5x = 5.x

3xp=3.x.p

অতএব, লসাগু=x.y.z.5.3.p = 15xyzp যাকে xyz, 5x ও 3xp দ্বারা ভাগ করা যায়।

গসাগু ‍নির্ণয়ের নিয়ম

1. পাটিগণিতের নিয়মে প্রদত্ত রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগের গসাগু নির্ণয় করতে হবে।
2. বীজগণিতীয় রাশিগুলোর মৌলিক উৎপাদক বের করতে হবে।
3. সাংখ্যিক সহগের গসাগু এবং প্রদত্ত রাশিগুলোর বীজগণিতীয় সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর ধারাবাহিক গুণফল হচ্ছে নির্ণেয় গসাগু।

কাজ : গসাগু নির্ণয় কর:

1. 3x³y², 2x²y³

সমাধানঃ

১ম রাশি = 3x³y² = 3.x.x.x.y.y

২য় রাশি = 2x²y³ = 2.x.x.y.y.y

অতএব, গসাগু = x.x.y.y = x².y²

2. 3xy, 6x²y, 9xy²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 3xy = 3.x.y

২য় রাশি = 6x²y = 3.2.x.x.y

৩য় রাশি = 9xy² = 3.3.x.y.y

অতএব, গসাগু = 3.x.y = 3xy

3. (x² – 25), (x – 5)²

সমাধানঃ

১ম রাশি = x² – 25 = x²-5² = (x-5)(x+5)

এবং,

২য় রাশি = (x-5)² = (x-5)(x-5)

অতএব, গসাগু = (x-5)

4. x² - 9, x² + 7x + 12, 3x + 9

সমাধানঃ

১ম রাশি = x² - 9 = x²-3² = (x+3)(x-3)

২য় রাশি = x² + 7x + 12 = x²+3x+4x+12 = x(x+3)+4(x+3) = (x+3)(x+4)

৩য় রাশি = 3x + 9 = 3(x+3)

অতএব, গসাগু = (x+3)

বিঃদ্রঃ পাঠ্যবইয়ে ১ম রাশি x² + 9 দেয়া আছে, সেক্ষেত্রে x² + 9 একটি মৌলিক রাশি। তখন তোমরা, তিনটি রাশির কোন সাধারণ মৌলিক উৎপাদক পাবে না, অর্থাৎ তখন গসাগু হবে ১।

লসাগু নির্ণয়ের নিয়ম:

লসাগু (Lowest Common Multiple or LCM) নির্ণয়:–

প্রত্যেক রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে, উক্ত উৎপাদকগুলোর প্রত্যেকটির যে মাত্রা রাশিগুলোর মধ্যে সর্বোচ্চ, তাদের গুণফলই রাশিগুলোর লসাগু হবে। রাশিগুলোর সংখ্যা সহগগুলোর লসাগুই নির্ণেয় লসাগুর সংখ্যা সহগ হবে।

লসাগু নির্ণয় করো:

1. 3x²y³, 9x³y² ও 12x²y²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 3x²y³ = 3.x².y³

২য় রাশি = 9x³y² = 3.3.x³.y²

৩য় রাশি = 12x²y² = 3.2.2.x².y²

অতএব, লসাগু = 3.x².y³.3.x.2.2 = 36x³y³

2. 3a² + 9, a⁴ – 9, ও a⁴ + 16a² + 9

সমাধানঃ

১ম রাশি

= 3a² + 9

= 3(a²+3)

২য় রাশি

= a⁴ – 9

= (a²)²-3²

= (a²+3)(a²-3)

৩য় রাশি = a⁴ + 16a² + 9

অতএব, লসাগু = 3(a²+3)(a²-3)(a⁴ + 16a² + 9) = 3(a⁴-9)( a⁴ + 16a² + 9)

3. x² + 10x + 21, x⁴ – 49x²

সমাধানঃ

১ম রাশি

= x² + 10x + 21

= x² + 7x + 3x +21

= x(x+7)+3(x+7)

= (x+3)(x+7)

২য় রাশি

= x⁴ – 49x²

= x²(x²-49)

= x²(x²-7²)

= x²(x-7)(x+7)

অতএব, লসাগু = (x+3)(x+7)x²(x-7) = x²(x+3)(x²-49)

4. a – 2, a² – 4, a² – a – 2

সমাধানঃ

১ম রাশি = a-2

২য় রাশি = a²-4 = a² – 2² = (a-2)(a+2)

৩য় রাশি

= a²-a-2

= a²-2a+a-2

=a(a-2)+1(a-2)

=(a-2)(a+1)

অতএব, লসাগু = (a-2)(a+2)(a+1) = (a²-4)(a+1)

একক কাজঃ

গসাগু নির্ণয় করঃ

3a²b²c², 6ab²c²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 3a²b²c² = 3.a.a.b.b.c.c

২য় রাশি = 6ab²c² = 3.2. b.b.c.c

অতএব, গসাগু = 3.a.b.b.c.c = 3ab²c²

5ab²x² , 10a²by²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 5ab²x² =5.a.b.b.x.x

২য় রাশি = 10a²by² = 5.2. a.a.b.y.y

অতএব, গসাগু = 5.a.b = 5ab

3a²x², 6axy², 9ay²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 3a²x² = 3.a.a.x.x

২য় রাশি = 6axy² = 3.2.a.x.y.y

৩য় রাশি = 9ay² = 3.3.a.y.y

অতএব, গসাগু = 3.a = 3a

16a³x⁴y, 40a²y²x, 28ax³

সমাধানঃ

১ম রাশি = 16a³x⁴y = 2.2.2.2.a.a.a.x.x.x.x.y

২য় রাশি =40a²y²x = 2.2.2.5.a.a.y.y.x

৩য় রাশি = 28ax³ = 2.2.7.a.x.x.x

অতএব, গসাগু =2.2.a.x = 4ax

a²+ab, a²-b²

সমাধানঃ

১ম রাশি = a²+ab = a(a+b)

২য় রাশি = a²-b² = (a-b)(a+b)

অতএব, গসাগু = (a+b)

x³y-xy³, (x-y)²

সমাধানঃ

১ম রাশি

= x³y-xy³

= xy(x²-y²)

= xy(x-y)(x+y)

২য় রাশি

= (x-y)²

= (x-y)(x-y)

অতএব, গসাগু = (x-y)

x² +7x+12, x² +9x+20

সমাধানঃ

১ম রাশি

= x² +7x+12

= x² + 4x + 3x + 12

= x(x+4)+3(x+4)

= (x+3)(x+4)

২য় রাশি

= x² + 9x + 20

= x² + 5x + 4x + 20

= x(x+5) + 4(x+5)

= (x+4)(x+5)

অতএব, গসাগু = x+4

a³ -ab², a⁴ +2a³b+a²b²

সমাধানঃ

১ম রাশি

= a³ -ab²

= a(a²-b²)

= a(a-b)(a+b)

২য় রাশি

= a⁴ +2a³b+a²b²

= a²(a²+2ab+b²)

=a²(a+b)²

=a²(a+b)(a+b)

অতএব, গসাগু = a(a+b)

a² -16, 3a+12, a² +5a+4

সমাধানঃ

১ম রাশি = a²-16 = a²-4² = (a-4)(a+4)

২য় রাশি = 3a+12 = 3(a+4)

৩য় রাশি

= a²+5a+4

= a²+4a+a+4

= a(a+4)+1(a+4)

= (a+1)(a+4)

অতএব, গসাগু = a+4

xy-y, x³y-xy, x²-2x+1

সমাধানঃ

১ম রাশি = xy-y = y(x-1)

২য় রাশি = x³y-xy = xy(x²-1) = xy(x-1)(x+1)

৩য় রাশি = x²-2x+1 = x²-2.x.1+1² = (x-1)² =(x-1)(x-1)

অতএব, গসাগু =(x-1)

লসাগু নির্ণয় কর:

6a³b²c, 9a⁴bd²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 6a³b²c = 3.2.a.a.a.b.b.c

২য় রাশি = 9a⁴bd² = 3.3.a.a.a.a.b.d.d

অতএব, লসাগু = 3.2.a.a.a.b.b.c.3.a.d.d = 18a⁴b²cd²

5x²y², 10xz³, 15y³z⁴

সমাধানঃ

১ম রাশি = 5x²y² = 5.x.x.y.y

২য় রাশি = 10xz³ = 5.2.x.z.z.z

৩য় রাশি =15y³z⁴ = 5.3.y.y.y.z.z.z.z

অতএব, লসাগু = 5.x.x.y.y.2.z.z.z.3.y.z = 30x²y³z⁴

2p²xy², 3pq², 6pqx²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 2p²xy² = 2.p.p.x.y.y

২য় রাশি = 3pq² = 3.p.q.q

৩য় রাশি =6pqx² = 3.2.p.q.x.x

অতএব, লসাগু = 2.p.p.x.y.y.3.q.q.x = 6p²x²y

(b²-c²), (b+c)²

সমাধানঃ

১ম রাশি = (b²-c²) = (b-c)(b+c)

২য় রাশি = (b+c)² = (b+c)(b+c)

অতএব, লসাগু = (b-c)(b+c)(b+c)

x²+2x, x²+3x+2

সমাধানঃ

১ম রাশি = x²+2x = x(x+2)

২য় রাশি

= x²+3x+2

= x²+2x+x+2

= x(x+2)+1(x+2)

= (x+1)(x+2)

অতএব, লসাগু = x(x+2)(x+1) = x(x²+3x+2)

9x²-25y², 15ax-25ay

সমাধানঃ

১ম রাশি

= 9x²-25y²

= (3x)²-(5y)²

= (3x-5y)(3x+5y)

২য় রাশি

= 15ax-25ay

= 5a(3x-5y)

অতএব, লসাগু = 5a(3x-5y)(3x+5y) = 5a(9x²-25y²)

x²-3x-10, x²-10x+25

সমাধানঃ

১ম রাশি

= x²-3x-10

= x²-5x+2x-10

= x(x-5)+2(x-5)

= (x+2)(x-5)

২য় রাশি

= x²-10x+25

= x²-5x-5x+25

= x(x-5)-5(x-5)

= (x-5)(x-5)

অতএব, লসাগু = (x+2)(x-5)(x-5) = (x+2)(x-5)²

a²-7a+12, a²+a-20, a²+2a-15

সমাধানঃ

১ম রাশি

= a²-7a+12

= a²-4a-3a+12

= a(a-4)-3(a-4)

= (a-3)(a-4)

২য় রাশি

= a²+a-20

= a²+5a-4a-20

= a(a+5)-4(a+5)

= (a-4)(a+5)

৩য় রাশি

= a²+2a-15

= a²+5a-3a-15

= a(a+5)-3(a+5)

= (a-3)(a+5)

অতএব, লসাগু = (a-3)(a-4) (a+5)

x²-8x+15, x²-25, x²+2x-15

সমাধানঃ

১ম রাশি

= x²-8x+15

= x²-5x-3x+15

= x(x-5)-3(x-5)

= (x-3)(x-5)

২য় রাশি

= x²-25

= x²-5²

= (x-5)(x+5)

৩য় রাশি

= x²+2x-15

= x²+5x-3x-15

= x(x+5)-3(x+5)

= (x-3)(x+5)

অতএব, লসাগু =(x-3)(x-5)(x+5)

x+5, x²+5x, x²+7x+10

সমাধানঃ

১ম রাশি = x+5

২য় রাশি = x²+5x = x(x+5)

৩য় রাশি

= x²+7x+10

= x²+5x+2x+10

= x(x+5)+2(x+5)

= (x+2)(x+5)

অতএব, লসাগু = x(x+5)(x+2)